Het klinkt als magie: Je brengt gewoon dat exponentje naar achter, en haalt 1 van de exponent af bij een polynoom. Maar dit is maar een trucje, waar komt en wat betekent eigenlijk de afgeleide?
Differentieren (of eigenlijk de afgeleide bepalen), is een onderdeel van calculus. Calculus is een onderwerp in wiskunde waar je veranderingen studeert (bijvoorbeeld, hoe bepaal ik de maximale omzet?).
Calculus is echter een brede onderwerp, maar we kunnen eigenlijk zeggen dat calculus vooral op de volgende twee dingen anayseert:
- De helling van de grafiek op punt A
- De oppervlakte van de grafiek van x=10 tot x=20
Hierboven hebben we de functie
ge-plot (getekend), we kunnen in deze grafiek zien dat de helling niet gelijk blijft, maar het wordt eigenlijk steiler. Het is dus niet constant!!!
Dit is de afgeleide van de functie, we kunnen hieruit concluderen dat de helling stijgt met 2.
Wat als ik een lijn heb dan? Wat is dan de helling?
Stel functie f is zo gedefinieerd:
Dit is een lijn in de vorm van y=mx+n.
Als we deze differentieren, met respect tot x, dan is dit de afgeleide:
We kunnen hieruit zien dat de helling constant is, het is namelijk overal 2.
Uhh oke, maar wat en hoe bepaal ik dan de afgeleides van complexere functies zoals sinuoides and logaritmes?
Dan gaan we een stapje verder, want dan moeten we begrijpen wat de afgeleide is, en waar het vandaan komt.
De afgeleide is gedefinieerd als zo:
Dit lijkt echt complex, maar ik beloof je dat het best logisch is.
Stel we hebben de volgende functie:
Stel dat h gedefinieerd is als “een kleine stukje”, dan kunnen we zeggen dat x + h gelijk staat aan een x-coordinaat die dichtbij.
Naarmate h kleiner wordt, wordt de grafiek ook echt een rechtere lijn. Het ding is, hoe meer we inzoomen op een bepaalde punt, hoe meer het op een rechte lijn lijkt. En we weten dat:
is de helling die we kunnen vinden op een lijn.
In de video werk ik verder uit hoe we met limieten verder kunnen gaan.
Geef een reactie